Un morceau de π


Original: http://www.efgh.com/math/pi.htm

Philip J. Erdelsky
26 juillet 2001

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Mathématiques contient de nombreuses constantes transcendantes intéressants, mais un seul d’entre eux a été connue des anciens. Il est π, le rapport de la circonférence sur le diamètre d’un cercle.

Archimède a été le premier mathématicien à calculer une valeur approximative de π. Les valeurs précédentes étaient fondées sur des mesures physiques de la précision limitée.

Nous allons utiliser la méthode d’Archimède pour calculer une valeur approximative de π, en utilisant seulement les mathématiques connues à Archimède. Cependant, nous allons faire nos calculs sur un ordinateur, et nous obtiendrons une valeur beaucoup plus précis que lui.

Les anciens n’ont pas une très bonne théorie de limites; ni faire la plupart des non-mathématiciens. Mais certaines choses sont assez évidentes. Un polygone régulier avec de nombreux côtés est d’environ un cercle. Son périmètre est approximativement la circonférence du cercle, et sa surface est à peu près la surface du cercle. Les plus côtés du polygone a, plus précis le rapprochement. Si le polygone a assez de côtés, tout degré de précision souhaité peut être obtenu.

Figure 1

Figure 1

Pour trouver une valeur approchée de π, nous allons inscrire les polygones réguliers dans un cercle de rayon 1 Les périmètres des polygones peuvent être calculés, dans certains cas, en utilisant rien de plus avancé que le théorème de Pythagore, qui a été connu à Archimède. En particulier, si l’on connaît la longueur de chaque côté du polygone régulier à n côtés, on peut calculer la longueur de chaque côté du polygone régulier à 2n côtés.

Dans la figure 2, Soit AB un des n côtés d’un polygone régulier inscrit dans un cercle de centre O et de rayon d’une unité une longue. Soit s la longueur de AB.

Figure 2

Figure 2

Laissez OCD être la bissectrice de l’angle AOB. Triangles Puis AOC et BOC sont congruents; donc les angles à C sont des angles droits et AC = CB. Par conséquent,

  • h = s/2
  • z = √(1-h2)

Le périmètre du polygone et ns est le diamètre du cercle est 2 où la valeur approchée de π est ns / 2.

La segments AD et BD sont les deux faces d’un polygone inscrit avec 2n côtés. La longueur de chacun est

  • √(h2 + (1-z)2))

Dans le cas où n = 6, nous savons que s = 1 C’est un fait bien connu, mais nous allons donner une preuve courte. Parce que l’hexagone est régulier, tous les six angles au centre sont égaux. L’angle ACB est inscrite dans un cercle, de sorte qu’il est le demi-angle intercepté AOB, qui est égale à deux des six angles. Ainsi angle ACB est égal à l’angle BOC. Les côtés opposés OB et la BC sont aussi égaux. Des arguments similaires montrent tout autre côté à être aussi longue que le rayon du cercle.

Figure 3

Figure 3

Tout ce que nous avons à faire est d’appliquer cette formule à plusieurs reprises pour obtenir des valeurs pour n = 12, 24, 48, 96, etc

Un programme informatique simple, comme le programme C suivant ++, va effectuer rapidement ces calculs.

     #include <stdio.h>
     #include <math.h>

     void main(void)
     {
       double s = 1.0;
       double n = 6.0;
       puts("number of sides    approximate value of pi");
       while (n < 500000000.0)
       {
         printf ("%9.0f          %18.16f\n", n, n*s/2.0);
         double h = s / 2.0;
         double z = sqrt(1.0 - h * h);
         s = sqrt(h * h + (1.0 - z) * (1.0 - z));
         n *= 2;
       }
     }

 

Les résultats se présentent comme suit:

nombre de côtés valeur   approximative de pi

             6          3.0000000000000000
            12          3.1058285412302489
            24          3.1326286132812378
            48          3.1393502030468667
            96          3.1410319508905098
           192          3.1414524722854624
           384          3.1415576079118579
           768          3.1415838921483186
          1536          3.1415904632280505
          3072          3.1415921059992717
          6144          3.1415925166921577
         12288          3.1415926193653840
         24576          3.1415926450336911
         49152          3.1415926514507682
         98304          3.1415926530550373
        196608          3.1415926534561045
        393216          3.1415926535563719
        786432          3.1415926535814380
       1572864          3.1415926535877046
       3145728          3.1415926535892713
       6291456          3.1415926535896630
      12582912          3.1415926535897611
      25165824          3.1415926535897856
      50331648          3.1415926535897913
     100663296          3.1415926535897931
     201326592          3.1415926535897931
     402653184          3.1415926535897931

 

Archimède, rien de mieux que d’un boulier pour calculer avec, a dû s’arrêter à 96 côtés.

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